Question

3．已知圓C經(jīng)過點A（1，1）、B（-2，-2），并且直線m：2x-y=4平分圓C．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點，且OA⊥OB，O是坐標(biāo)原點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出線段AB的中垂線方程，與直線m的方程聯(lián)立求出圓心的坐標(biāo)，再計算半徑r，從而寫出圓C的方程；
（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，利用OA⊥OB時$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，結(jié)合直線與圓組成的方程組，即可求出a的值．

解答 解：（1）直線AB的斜率是k_AB=$\frac{1-（-2）}{1-（-2）}$=1，
且AB的中點為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
所以AB的中垂線方程為y+$\frac{1}{2}$=-（x+$\frac{1}{2}$），即x+y+1=0；
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\ 2x-y=4\end{array}\right.$，解得圓心為C（1，-2），
r=AC=$\sqrt{{（1-1）}^{2}{+（1+2）}^{2}}$=3，
所以圓C的方程為：（x-1）²+（y+2）²=9；…（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為OA⊥OB，所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=0，
即2x₁x₂+（x₁+x₂）a+a²=0（*）；
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{{（x-1）}^{2}{+（y+2）}^{2}=9}\\{x-y+a=0}\end{array}\right.$，
消去y，得2x²+2（a+1）x+a²+4a-4=0，
所以x₁+x₂=-a-1，
x₁x₂=$\frac{{a}^{2}+4a-4}{2}$，
代入（*）式得a²+4a-4+（-a-1）a+a²=0，
化簡得a²+3a-4=0，解得a=-4或a=1；
經(jīng)檢驗△=4（a+1）²-8（a²+4a-4）=-a²-6a+9＞0，
所以a=-4或a=1．…（12分）

點評 本題考查了直線與圓的方程與應(yīng)用問題，也考查了消元法和根與系數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．