Question

16．圓F：（x-1）²-y²=1和拋物線(xiàn)y²=4x，過(guò)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)和圓依次交于A、B、C、D四點(diǎn)
（1）當(dāng)|BD|+|AC|=7時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l，使得三角形OAB與三角形OCD的面積之比為4：1，若存在，求出直線(xiàn)l的方程，否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）方法一：設(shè)直線(xiàn)AD的y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦公式，即可求得k的值，求得拋物線(xiàn)方程；
方法二：由丨AD丨=2p（1+$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$）=5，求得直線(xiàn)AD的傾斜角，即可求得k的值，求得拋物線(xiàn)方程；
（2）由三角形額面積公式，求得丨AB丨：丨CD丨=4：1，根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦公式，求得|AB|•|CD|=x₁x₂=1，即可求得x₁及x₂，代入即可求得k的值，求得直線(xiàn)AD方程．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）
由題意可知：直線(xiàn)AD的斜率顯然存在，設(shè)直線(xiàn)AD的y=k（x-1），A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
|BD|+|AC|=丨AD丨+丨BC丨=7，
則丨AD丨=5，
由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦公式丨AD丨=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2，
即$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$=3，解得：k=±2，
直線(xiàn)l的方程y-2x+2=0或y+2x-2=0；
方法二：假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l，使得三角形OAB與三角形OCD的面積之比為4：1，
設(shè)直線(xiàn)AD的y=k（x-1），直線(xiàn)AD的傾斜角為θ，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
|BD|+|AC|=丨AD丨+丨BC丨=7，
則丨AD丨=5，
由丨AD丨=x₁+x₂+p=x₁+x₂+p=2p（1+$\frac{1}{ta{n}^{2}θ}$）=5，解得：tanθ=±2，
直線(xiàn)AD的斜率為k=±2，
直線(xiàn)l的方程y-2x+2=0或y+2x-2=0；
（2）設(shè)O到直線(xiàn)AD的距離d，由△OAB與△OCD的面積之比為4：1，
即S₁：S₂=（$\frac{1}{2}$丨AB丨•d）：（$\frac{1}{2}$丨CD丨•d）=4：1，
∴丨AB丨：丨CD丨=4：1，
設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（x-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
而拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F同時(shí)是已知圓的圓心，則|BF|=|CF|=1，
∴|AB|=|AF|-|BF|=x₁，|CD|=|DF|-|CF|=x₂．
∴|AB|•|CD|=x₁x₂=1，解得：|AB|=x₁=4，|CD|=x₂=$\frac{1}{4}$，
則x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$=$\frac{17}{4}$，解得：k=±$\frac{4}{3}$，
∴直線(xiàn)l的方程3y-4x+4=0或3y+4x-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．