Question

8．設(shè)曲線y=（ax-1）e^x（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)A（x₀，y₁）處的切線為l₁，曲線y=（1-x）e^-x（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)B（x₀，y₂）處的切線為l₂，若存在x₀∈（0，1）使得l₁⊥l₂，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：y=（ax-1）e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=（ax-1+a）e^x，
可得切線l₁的斜率為（ax₀-1+a）e^x₀，
y=（1-x）e^-x的導(dǎo)數(shù)為y′=（x-2）e^-x，
可得切線l₂的斜率為（x₀-2）e^-x₀，
由l₁⊥l₂，可得（ax₀-1+a）e^x₀•（x₀-2）e^-x₀=-1，
即為a=$\frac{3-{x}_{0}}{（2-{x}_{0}）（1+{x}_{0}）}$，0＜x₀＜1，
令3-x₀=t（2＜t＜3），即x₀=3-t，
可得a=$\frac{t}{（4-t）（t-1）}$=$\frac{1}{5-（t+\frac{4}{t}）}$，
由t+$\frac{4}{t}$在（2，3）遞增，可得t+$\frac{4}{t}$∈（4，$\frac{13}{3}$），
即有$\frac{1}{5-（t+\frac{4}{t}）}$∈（1，$\frac{3}{2}$）．
則則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（1，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，同時(shí)考查換元法和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．