Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且公差d＞0，其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=c_n-1+b_n（n≥2），且c₁=2，求{c_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將第二項(xiàng)，第五項(xiàng)，第十四項(xiàng)用{a_n}的首項(xiàng)與公差表示，再據(jù)此三項(xiàng)成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由題意可得，c_n-c_n-1=b_n=3ⁿ，利用疊加法求解即可

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，q=

b3

b2

=

9

3

=3，
∴bn=b2•qn-2=3•3^n-2=3^n-1
（2）∵c_n=c_n-1+b_n（n≥2
∴c_n-c_n-1=b_n=3^n-1
∴c₂-c₁=3
c3-c2=32
…
c_n-c_n-1=3^n-1
以上式子相加可得，cn-c1=3+32 +…+3n-1=

3(1-3n-1)

1-3

∴cn=2+

3n-3

2

=

3n+1

2

點(diǎn)評：本題主要考查了利用基本量表示等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，疊加求解數(shù)列的通項(xiàng)．