Question

20．已知傾斜角為45°的直線l過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦點(diǎn)，則l被橢圓所截的弦長是（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{6}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜率式設(shè)直線方程，與橢圓方程消去y，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式即可算出弦長．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，則橢圓的右焦點(diǎn)（$\sqrt{3}$，0），
直線傾斜角為45°，斜率為1，設(shè)直線方程為y=x+m，橢圓兩交點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓右焦點(diǎn)（$\sqrt{3}$，0），解得：m=-$\sqrt{3}$，則直線方程為y=x-$\sqrt{3}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{5}{4}$x²-2$\sqrt{3}$x+2=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$，
由弦長公式可知l被橢圓所截的弦長為丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4×\frac{8}{5}}$=$\frac{8}{5}$，
∴丨AB丨=$\frac{8}{5}$，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及弦長公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．