Question

拋物線y²=8x的焦點(diǎn)為F，A（4，-2）為一定點(diǎn)，在拋物線上找一點(diǎn)M，當(dāng)|MA|+|MF|為最小時(shí)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)

 

，當(dāng)||MA|-|MF||為最大時(shí)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線定義可知|MF|=x_M+2判斷出當(dāng)直線AM垂直拋物線準(zhǔn)線時(shí)|MA|+|MF|為最小，進(jìn)而把y=-2代入拋物線方程求得M的縱坐標(biāo)；當(dāng)A，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且M在x軸下方時(shí)||MA|-|MF||=|AF|最大．根據(jù)A，F(xiàn)坐標(biāo)求得直線方程與拋物線方程聯(lián)立求得x軸下方的交點(diǎn)．

解答：解：根據(jù)拋物線定義可知|MF|=x_M+2
∴當(dāng)直線AM垂直拋物線準(zhǔn)線時(shí)，|MA|+|MF|為最小，此時(shí)x_M=

1

2

，則y_M=-2
當(dāng)A，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且M在x軸下方時(shí)||MA|-|MF||=|AF|最大．
此時(shí)直線AF方程為y=-（x-2）與拋物線方程聯(lián)立求得x_M=6+4

2

，y_M=-（6+4

2

-2）=-4

2

-4
故答案為（

1

2

，-2），（6+4

2

，-4

2

-4）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．當(dāng)涉及拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，常需要借助拋物線的定義來(lái)解決．