Question

判斷函數(shù)f（x）=x-

1

x

 的奇偶性，單調(diào)性，并利用定義證明．

Answer 1

分析：先求出函數(shù)定義域為：x∈（-∞，0）∪（0，+∞），然后用定義證明當x＞0時，函數(shù)為增函數(shù)；類似的方法可證出當x＜0時，函數(shù)也為增函數(shù)．可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）

解答：解：函數(shù)的定義域為：x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
f（-x）=-x+

1

x

=-f（x），函數(shù)是奇函數(shù)；
任取x₁＜x₂＜0，f（x₁）-f（x₂）=（ x₁-

1

x 1

）-（x₂-

1

x 2

）
=

(x 1x 2+1)(x 1-x 2)

x 1x 2

＜0，即
因為x₁＜x₂＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)在（-∞，0）上是增函數(shù)
同樣方法證明，當x₂＞x₁＞0時，f（x₂）＞f（x₁），函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)
綜上所述，當x≠0時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0）和（0，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，以及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系，屬于中檔題．注意題中的兩個單調(diào)區(qū)間不能用并集相連接．