Question

19．定義：用{x}表示不小于x的最小整數(shù)，例如{2}=2，{1，2}=2，{-1，1}=-1，已知數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=1，{a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，則{$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2016}+1}$}=（　�。�

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=1，{a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$＞1．可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，再利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=1，{a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$＞1．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_{2017}}}}=1-\frac{1}{{{a_{2017}}}}$，
∵$0＜1-\frac{1}{{a}_{2017}}＜1$，
∴$\{1-\frac{1}{{a}_{2017}}\}$=1
則{$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2016}+1}$}=1．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法、取整函數(shù)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．