Question

若函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x-．
（1）求函數(shù)φ（x）=g（x）-kf（x）（k＞0）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對所有的x∈[e，+∞]，都有xf（x）≥ax-a成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)φ（x）=x--klnx的定義域為（0，+∞）．
φ′（x）=1+-=，記函數(shù)g（x）=x²-kx+2，其判別式△=k²-8
①當△=k²-8≤0即0＜k≤2時，g（x）≥0恒成立，
∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞增．
②當△=k²-8＞0即k＞2時，方程g（x）=0有兩個不等的實根x₁=＞0，x₂=＞0．
若x₁＜x＜x₂，則g（x）＜0，∴φ′（x）＜0，∴φ（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上遞減；
若x＞x₂或0＜x＜x₁，則g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在區(qū)間（0，x₁）和（x₂，+∞）上遞增．
綜上可知：當0＜k≤2時，φ（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；當k＞2時，φ（x）的遞增區(qū)間為（0，）和（，+∞），遞減區(qū)間為（，）．
（2）∵x≥e，∴xlnx≥ax-a?a≤
令h（x）=，x∈[e，+∞），則h′（x）=
∵當x≥e時，（x-lnx-1）′=1-＞0，
∴函數(shù)y=x-lnx-1在[e，+∞）上是增函數(shù)，
∴x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）的最小值為h（e）=，
∴a≤．
分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)φ′（x）=因為x²＞0，要判斷φ′（x）的正負就要研究g（x）=x²-kx+2的符號，討論△的正負即可得到g（x）的正負即可得到φ′（x）的正負，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）由xf（x）≥ax-a解出a≤，設(shè)h（x）=，所以求出h′（x），討論h（x）的增減性得到h（x）的最小值．讓a小于等于最小值即可得到a的范圍．
點評：考查學(xué)生會分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的增減性，會利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．學(xué)生做題時應(yīng)掌握不等式恒成立是所取的條件．