【題目】已知雙曲線(b>a>0),O為坐標(biāo)原點,離心率,點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線與雙曲線交于P、Q兩點,且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.
【答案】1 ;2.
【解析】試題分析:
(Ⅰ) 由,可得,故雙曲線方程為,代入點的坐標(biāo)可得,由此可得雙曲線方程. (Ⅱ)根據(jù)直線的斜率存在與否分兩種情況求解.當(dāng)斜率存在時,可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及兩點間的距離公式求解即可.當(dāng)斜率不存在時直接計算可得結(jié)果.
試題解析:
(1)由,可得,
∴,
∴ 雙曲線方程為,
∵ 點在雙曲線上,
∴,
解得 ,
∴ 雙曲線的方程為.
(2)①當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,
由消去y整理得,
∵直線與雙曲線交于兩點,
∴.
設(shè),,
則,
由得到:,
即,
∴,
化簡得.
∴,
當(dāng)時上式取等號,且方程(*)有解.
②當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè)直線的方程為,則有,
由可得,
可得,解得.
∴.
∴ .
綜上可得的最小值是24.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,|an+1﹣an|=pn , n∈N* .
(1)若{an}是遞增數(shù)列,且a1 , 2a2 , 3a3成等差數(shù)列,求p的值;
(2)若p= ,且{a2n﹣1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.
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【題目】根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同,可將空氣質(zhì)量分級如下表:
對某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測,獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間 ,,,,進(jìn)行分組,得到頻率分布條形圖如圖.
(1)求圖中的值;
(2)空氣質(zhì)量狀況分別為輕微污染或輕度污染定為空氣質(zhì)量Ⅲ級,求一年中空氣質(zhì)量為Ⅲ級的天數(shù)
(3)小張到該城市出差一天,這天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是多少?
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【題目】已知為拋物線上一個動點, 為圓上一個動點,那么點到點的距離與點到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是( )
A. B. C. D.
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【題目】某地區(qū)有小學(xué)21所,中學(xué)14所,大學(xué)7所,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查。
(I)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目。
(II)若從抽取的6所學(xué)校中隨機抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析,
(1)列出所有可能的抽取結(jié)果;
(2)求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率。
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【題目】若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5 , 則lna1+lna2+…lna20= .
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【題目】如圖,在棱長為1的正方體中,點分別是棱,的中點,是側(cè)面內(nèi)一點,若 平面,則線段長度的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】對于函數(shù),若存在,使成立,則稱為的不動點.已知函數(shù) .
(1)當(dāng),時,求函數(shù)的不動點;
(2)若對任意實數(shù),函數(shù)恒有兩個相異的不動點,求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若的兩個不動點為,,且,求實數(shù)的取值范圍.
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