Question

20．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB，E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求異面直線PC與AE所成角的余弦值；
（Ⅲ）若平面AEF與棱PC交于點(diǎn)M，求$\frac{PM}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，則O為底面正方形ABCD中心．連接PO，推導(dǎo)出PO⊥AC，BD⊥AC，由此能證明AC⊥平面PBD．
（Ⅱ）由OA，OB，OP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出異面直線PC與AE所成角的余弦值．
（Ⅲ）連接AM．設(shè) $\frac{PM}{PC}=λ$，其中 λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{3}$．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，則O為底面正方形ABCD中心．連接PO．
因?yàn)?nbsp;P-ABCD為正四棱錐，
所以 PO⊥平面ABCD．（1分）
所以 PO⊥AC．（2分）
又 BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）
所以 AC⊥平面PBD．（4分）
（Ⅱ）因?yàn)镺A，OB，OP兩兩互相垂直，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．（5分）
因?yàn)?nbsp;PB=AB，所以 Rt△POB≌Rt△AOB．
所以 OA=OP．（6分）
設(shè) OA=2．
所以 A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），
D（0，-2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（0，-1，1）．
所以 $\overrightarrow{AE}$=（-2，1，1），$\overrightarrow{PC}$=（-2，0，-2）．（7分）
所以|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{PC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
即異面直線PC與AE所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．（9分）
（Ⅲ）連接AM．設(shè) $\frac{PM}{PC}=λ$，其中 λ∈[0，1]，
則 $\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{PC}$=（-2λ，0，-2λ），（10分）
所以$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}$=（-2-2λ，0，2-2λ）．
設(shè)平面AEMF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），又$\overrightarrow{AF}$=（-2，-1，1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-2x+y+z=0}\\{-2x-y+z=0}\end{array}}\right.$
所以 y=0．令x=1，z=2，所以$\overrightarrow{n}$=（1，0，2）．（12分）
因?yàn)?nbsp;AM?平面AEF，所以$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}$=0，（13分）
即-2-2λ+2（2-2λ）=0，
解得 $λ=\frac{1}{3}$，所以$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{3}$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，考查線段比值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)用意識(shí)，是中檔題．