Question

18．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若M是線段A₁C₁上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． 三棱錐M-ABD的主視圖面積不變
• B． 三棱錐M-ABD的側(cè)視圖面積不變
• C． 異面直線CM，BD所成的角恒為$\frac{π}{2}$
• D． 異面直線CM，AB所成的角可為$\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 判斷主視圖和側(cè)視圖的底與高是否發(fā)生變化來判斷A，B，建立空間坐標(biāo)系求出數(shù)量積來判斷C和D．

解答 解：對于A，三棱錐M-ABD的主視圖為三角形，底邊為AB的長，高為正方體的高，故棱錐的主視圖面積不變，故A正確；
對于B，側(cè)視圖為三角形的底邊為AD的長，高為正方體的高，故棱錐側(cè)視圖的面積不變，故B正確；
對于C，連結(jié)AC，BD，A₁C，則BD⊥AC，∵AC∥A₁C₁，∴BD⊥A₁C₁，
又∵BD⊥CC₁，于是BD⊥平面A₁C₁C，∵CM?平面A₁C₁C，∴BD⊥CM，故C正確；
對于D，分別以AB，AD，AA₁為坐標(biāo)軸，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為1，M（a，a，1），B（1，0，0），A（0，0，0），C（1，1，0）．
∴$\overrightarrow{CM}$=（a-1，a-1，1），$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），∴cos＜$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{a-1}{\sqrt{2（a-1）^{2}+1}}$≠±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴異面直線CM，AB所成的角不可能是$\frac{π}{4}$．故D錯誤．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了棱錐的三視圖，異面直線所成的角，使用向量法可快速計(jì)算空間角的問題．