Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f'（x）為其導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）+x•f′（x）＞0，且f（1）=0，則不等式x•f（x）＞0的解集為（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，1）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)g（x）=xf（x）是R上的奇函數(shù)，畫出函數(shù)g（x）=xf（x）的單調(diào)性的示意圖，數(shù)形結(jié)合求得不等式x•f（x）＞0的解集．

解答 解：∵（x•f（x））′=f（x）+x•f′（x）＞0，
故函數(shù)g（x）=xf（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
再根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
可得函數(shù)g（x）=xf（x）是R上的奇函數(shù)，
故函數(shù)g（x）=xf（x）是R上的奇函數(shù)，
故函數(shù)g（x）=xf（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0，
故函數(shù)y=xf（x）的單調(diào)性的示意圖，如圖所示：
由不等式x•f（x）＞0，
可得 x與f（x）同時(shí)為正數(shù)或同時(shí)為負(fù)數(shù)，∴x＞1，或-1＜x＜0，
故不等式x•f（x）＞0的解集為：（-1，0）∪（1，+∞），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．