Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2-（a+1）x+alnx+1

（Ⅰ）若x=3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的極大值；

（Ⅱ）求a的范圍，使得f（x）≥1恒成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值為；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由于x=3是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（3）=0求出a，進(jìn)而求出f′（x）＞0得到函數(shù)的增區(qū)間，求出f′（x）＜0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的極大值；

（Ⅱ）由于f（x）≥1恒成立，即x＞0時(shí)，恒成立，設(shè)，求得其導(dǎo)函數(shù)，分類討論參數(shù)a，得到函數(shù)g（x）的最小值大于等于0，即可得到a的范圍．

解：（Ⅰ）

∵x=3是f（x）的極值點(diǎn)，∴，解得a=3

當(dāng)a=3時(shí)，，

當(dāng)x變化時(shí)，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

f（x）的極大值為；

（Ⅱ）要使得f（x）≥1恒成立，即x＞0時(shí)，恒成立，

設(shè)，則，

（�。┊�(dāng)a≤0時(shí)，由g′（x）＜0得單減區(qū)間為（0，1），由g′（x）＞0得單增區(qū)間為（1，+∞），

故，得；

（ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由g′（x）＜0得單減區(qū)間為（a，1），由g′（x）＞0得單增區(qū)間為（0，a），（1，+∞），此時(shí)，∴不合題意；

（iii）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單增，，∴不合題意；

（iv）當(dāng)a＞1時(shí)，由g′（x）＜0得單減區(qū)間為（1，a），由g′（x）＞0得單增區(qū)間為（0，1），（a，+∞），此時(shí)，∴不合題意．

綜上所述：時(shí)，f（x）≥1恒成立．