【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-(a+1)x+alnx+1
(Ⅰ)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的極大值;
(Ⅱ)求a的范圍,使得f(x)≥1恒成立.
【答案】(Ⅰ)極大值為;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由于x=3是f(x)的極值點(diǎn),則f′(3)=0求出a,進(jìn)而求出f′(x)>0得到函數(shù)的增區(qū)間,求出f′(x)<0得到函數(shù)的減區(qū)間,即可得到函數(shù)的極大值;
(Ⅱ)由于f(x)≥1恒成立,即x>0時(shí),恒成立,設(shè),求得其導(dǎo)函數(shù),分類討論參數(shù)a,得到函數(shù)g(x)的最小值大于等于0,即可得到a的范圍.
解:(Ⅰ)
∵x=3是f(x)的極值點(diǎn),∴,解得a=3
當(dāng)a=3時(shí),,
當(dāng)x變化時(shí),
x | (0,1) | 1 | (1,3) | 3 | (3,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
f(x)的極大值為;
(Ⅱ)要使得f(x)≥1恒成立,即x>0時(shí),恒成立,
設(shè),則,
(。┊(dāng)a≤0時(shí),由g′(x)<0得單減區(qū)間為(0,1),由g′(x)>0得單增區(qū)間為(1,+∞),
故,得;
(ii)當(dāng)0<a<1時(shí),由g′(x)<0得單減區(qū)間為(a,1),由g′(x)>0得單增區(qū)間為(0,a),(1,+∞),此時(shí),∴不合題意;
(iii)當(dāng)a=1時(shí),f(x)在(0,+∞)上單增,,∴不合題意;
(iv)當(dāng)a>1時(shí),由g′(x)<0得單減區(qū)間為(1,a),由g′(x)>0得單增區(qū)間為(0,1),(a,+∞),此時(shí),∴不合題意.
綜上所述:時(shí),f(x)≥1恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第個(gè)家庭的月收入(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,計(jì)算得,,,.
(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄關(guān)于月收入的線性回歸方程,并判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(2)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄.(注:線性回歸方程中,,其中,為樣本平均值.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),以極軸為軸的正半軸,取相同的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為 .
(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,曲線上任一點(diǎn)為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,極坐標(biāo)系中,弧所在圓的圓心分別為,曲線是弧,曲線是弧,曲線是弧,曲線是弧.
(1)分別寫出的極坐標(biāo)方程;
(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,若直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍,并求出的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我校對(duì)高二600名學(xué)生進(jìn)行了一次知識(shí)測試,并從中抽取了部分學(xué)生的成績(滿分100分)作為樣本,繪制了下面尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖.
(1)填寫頻率分布表中的空格,補(bǔ)全頻率分布直方圖,并標(biāo)出每個(gè)小矩形對(duì)應(yīng)的縱軸數(shù)據(jù);
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
2 | 0.04 | |
8 | 0.16 | |
10 | ________ | |
________ | ________ | |
14 | 0.28 | |
合計(jì) | ________ | 1.00 |
(2)請(qǐng)你估算該年級(jí)學(xué)生成績的中位數(shù);
(3)如果用分層抽樣的方法從樣本分?jǐn)?shù)在和的人中共抽取6人,再從6人中選2人,求2人分?jǐn)?shù)都在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為分別為左右焦點(diǎn),是橢圓上點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值以及此時(shí)的直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C的方程是:(,),則下列說法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),雙曲線的離心率為
B.過雙曲線C右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有且只有2條;
C.過雙曲線C右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線右支交于M,N兩點(diǎn),則此時(shí)線段長度有最小值;
D.雙曲線C與雙曲線:(,)漸近線相同.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線過點(diǎn)與曲線交于不同兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為,求.
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