已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d,當(dāng)x=-3和x=1時,f(x)取得極值.
(1)求b,c的值;
(2)若對任意x∈[-4,2],都有f(x)≥-6d2成立,試求d的取值范圍.
解:(1)f′(x)=3x
2+2bx+c,(2分)
∵當(dāng)x=-3和x=1時,f(x)取得極值.∴f′(3)=0,f′(1)=0,(4分)
,解得,b=3,c=-9.(6分)
(2)由(1)知f(x)=x
3+3x
2-9x+d,
f′(x)=3x
2+6x-9 f′(x)>0,3x
2+6x-9>0,解得 x<-3或x>1,
∵x∈[-4,2]∴f(x)的增減區(qū)間、極值、端點(diǎn)值情況如下表:
x | -4 | (-4,-3) | -3 | (-3,1) | 1 | (1,2) | 2 |
f′(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |
f(x) | 20+d | 遞增 | 極大值27+d | 遞減 | 極小值d-5 | 遞增 | 2+d |
對任x∈[-4,2],都有f(x)≥-6d
2成立,只需f(x)在[-4,2]上的最小值f(x)
min≥-6d
2.
∴d的取值應(yīng)滿
(12分)
解不等式組得,d≤-1或d≥
,
∴d的取值范圍是(-∞,-1)∪[
,+∞)(14分)
分析:(1)若函數(shù)f(x)在一點(diǎn)取極值,則函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0,且在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號相反.
(2)若在此區(qū)間上不等式恒成立,只需要最小值大于-6d
2即可.利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,并利用單調(diào)性確定在此區(qū)間上的最小值.∈
點(diǎn)評:利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解決最值問題.注意在極值的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號是相反的.