已知定點F(0，1)和直線l1：y＝－1，過定點F與直線l1相切的動圓圓心為點C.

(1)求動點C的軌跡方程；

(2)過點F的直線l2交軌跡于兩點P、Q，交直線l1于點R，求·的最小值．

 

（1）x2＝4y（2）16

【解析】(1)由題設(shè)點C到點F的距離等于它到l1的距離，

∴點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線．∴所求軌跡的方程為x2＝4y.

(2)由題意直線l2的方程為y＝kx＋1，與拋物線方程聯(lián)立消去y，得x2－4kx－4＝0.

記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.

由直線PQ的斜率k≠0，易得點R的坐標為，

·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)

＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4

＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4＋8.

∵k2＋≥2，當且僅當k2＝1時取到等號．

∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值為16.

 

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如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割成125個同樣大小的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為X，則X的均值為E(X)＝________．

 

 

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已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．

(1)求取出的4個球均為黑球的概率；

(2)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；

(3)設(shè)ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求ξ的分布列．

 

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已知(2－x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，其中a0，a1，a2…，a50是常數(shù)，計算(a0＋a2＋a4＋…＋a50)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a49)2.

 

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如果的展開式中，第四項和第七項的二項式系數(shù)相等，求：

(1)展開式的中間項；

(2)展開式中所有的有理項．

 

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已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P、Q是拋物線上的兩個點，若△PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是________．

 

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已知雙曲線＝1的右焦點為(3，0)，則該雙曲線的離心率為________．

 

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已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且＝λ(λ＞0)，定點A(－4，0)．

(1)求證：當λ＝1時，⊥；

(2)若當λ＝1時，有·＝，求橢圓C的方程．.

 

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