Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+x，正項(xiàng)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），求{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的圖象上，可得2S_n=${a}_{n}^{2}$+a_n，利用遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿn，對(duì)n分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的圖象上．
∴2S_n=${a}_{n}^{2}$+a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=${a}_{1}^{2}+{a}_{1}$，又a₁＞0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$，
相減可得：2a_n=${a}_{n}^{2}$+a_n-（${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$），
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n+a_n-1＞0，
可得a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿn，
∴當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，{b_n}前n項(xiàng)和A_n=A_2k=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（n-1）+n]
=1+1+…+1=k=$\frac{n}{2}$．
當(dāng)n=2k-1時(shí)，{b_n}前n項(xiàng)和A_n=${A}_{2k-2}+（-1）^{2k-1}（2k-1）$=$\frac{n-1}{2}$-n=-$\frac{n+1}{2}$，當(dāng)n=1時(shí)也成立．
綜上可得：A_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}，n=2k}\\{-\frac{n+1}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．