Question

16．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．
（1）求橢圓的方程；　　　　
（2）若直線l：y=kx+3與橢圓恒有不同交點(diǎn)A、B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由PF₁⊥PF₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．可得2a=$\frac{4}{3}+\frac{14}{3}$=6，（2c）²=$（\frac{4}{3}）^{2}$+$（\frac{14}{3}）^{2}$，解得a，c²，b²=a²-c²．即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（28+81k²）x²+486kx+477=0，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞1，可得（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+8＞0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入上式化簡(jiǎn)與△＞0聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）∵PF₁⊥PF₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．
∴2a=$\frac{4}{3}+\frac{14}{3}$=6，（2c）²=$（\frac{4}{3}）^{2}$+$（\frac{14}{3}）^{2}$，解得a=3，c²=$\frac{53}{9}$，b²=a²-c²=$\frac{28}{9}$．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{9{y}^{2}}{28}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{9{y}^{2}}{28}=1}\end{array}\right.$，化為（28+81k²）x²+486kx+477=0，
△=（486k）²-4（28+81k²）×477＞0，化為k²＞$\frac{53}{81}$．
∴x₁+x₂=$\frac{-486k}{28+81{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{477}{28+81{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞1，
∴x₁x₂+y₁y₂＞1，
∴（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+8＞0，
∴$\frac{477（1+{k}^{2}）}{28+81{k}^{2}}$-$\frac{1458{k}^{2}}{28+81{k}^{2}}$+8＞0，
化為：k²＜$\frac{701}{333}$，
∴$\frac{53}{81}$＜k²＜$\frac{701}{333}$，
解得$\frac{\sqrt{53}}{9}$＜k＜$\frac{\sqrt{25937}}{111}$，或-$\frac{\sqrt{25937}}{111}$＜k＜-$\frac{\sqrt{53}}{9}$．
∴k的取值范圍是：$\frac{\sqrt{53}}{9}$＜k＜$\frac{\sqrt{25937}}{111}$，或-$\frac{\sqrt{25937}}{111}$＜k＜-$\frac{\sqrt{53}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系及其△＞0、向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．