Question

19．已知奇函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）且△MNE為等腰直角三角形，當(dāng)A取最大值時(shí)，f（$\frac{1}{3}$）等于（　�。�

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，求出φ=$\frac{π}{2}$，
根據(jù)圖象過點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）求出ω和E的坐標(biāo)，根據(jù)A取最大值時(shí)，確定ω的值．可得f（x）解析式，從而求解f（$\frac{1}{3}$）的值．

解答 解：由題意，f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
可得f（x）=-Asinωx，
其周期T=$\frac{2π}{ω}$．
∵圖象過點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），
可得sinω=0，
那么ω=kπ，k∈Z，
由三角函數(shù)性質(zhì)可得：E的坐標(biāo)為（1+$\frac{π}{2ω}$，A）
∵△MNE為等腰直角三角形，
∴A=$\frac{π}{2ω}$，
又∵ω＞0，
當(dāng)k=1時(shí)，ω取得最小值為π，此時(shí)A最大為$\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}$．
∴函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$sinπx；
那么f（$\frac{1}{3}$）=$-\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{3}$=$-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，f（x）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，
求出E的坐標(biāo)為（1+$\frac{π}{2ω}$，A）是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．