Question

11．如圖1，四邊形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，將四邊形EBCD沿DE折起至EDC₁B₁，如圖2．

（Ⅰ） 求證：平面ADE⊥平面AEB₁；
（Ⅱ） 若二面角A-DE-C₁的大小為$\frac{π}{3}$，求三棱錐C₁-AB₁D的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由原圖形中的DE⊥AB，可得折起后DE⊥AE，DE⊥B₁E，再由線(xiàn)面垂直的判定可得DE⊥平面AEB₁，進(jìn)一步得到平面ADE⊥平面AEB₁；
（Ⅱ）通過(guò)解三角形求出三角形ADB₁ 的面積，利用等積法求得E到平面ADB₁ 的距離，再由比例關(guān)系求得C₁到平面ADB₁ 的距離，則三棱錐C₁-AB₁D的體積可求．

解答 證明：（Ⅰ）∵圖1，四邊形ABCD是菱形，且∠A=60°，E為AB的中點(diǎn)，
∴DE⊥AB，
∵將四邊形EBCD沿DE折起至EDC₁B₁，如圖2，
∴DE⊥AE，DE⊥B₁E，
又AE∩B₁E=E，∴DE⊥平面AEB₁，
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面AEB₁；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥AE，DE⊥B₁E，∴∠AEB₁ 為二面角A-DE-C₁的平面角為$\frac{π}{3}$，又∵AE=EB₁=1，∴△AEB₁ 為正三角形，則AB₁=1．
在RtDEB₁ 中，由${B}_{1}E=1，DE=\sqrt{3}$，可得B₁D=2，
∴△ADB₁是等腰三角形，底邊AB₁ 上的高等于$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$．
則${S}_{△AD{B}_{1}}=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{15}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$．
設(shè)E到平面ADB₁的距離為h，則由等積法得：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{4}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$，
得h=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∵C₁D∥B₁E，且C₁D=2B₁E，
∴C₁ 到平面ADB₁ 的距離為$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
則${V}_{{C}_{1}-A{B}_{1}D}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{2\sqrt{15}}{5}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．