(本題滿分16分) 本題共有3個小題,第1小題滿分7分,第2小題滿分7分,第3小題滿分2分. 
設(shè)直線交橢圓兩點(diǎn),交直線于點(diǎn)
(1)若的中點(diǎn),求證:;
(2)寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真;
(3)請你類比橢圓中(1)、(2)的結(jié)論,寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結(jié)論(不必證明).
(1)設(shè) 
 ,

(2)逆命題:設(shè)直線交橢圓兩點(diǎn),交直線于點(diǎn).若,則的中點(diǎn).
證明:由方程組
因?yàn)橹本交橢圓兩點(diǎn),
所以,即,設(shè)、
 , 
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824004717281745.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,故ECD的中點(diǎn).
(3)中點(diǎn)的充要條件是

試題分析:(1)解法一:設(shè)
 
 ,

解法二(點(diǎn)差法):設(shè)

兩式相減得
 

 
(2)逆命題:設(shè)直線交橢圓兩點(diǎn),交直線于點(diǎn).若,則的中點(diǎn).
證法一:由方程組
因?yàn)橹本交橢圓兩點(diǎn),
所以,即,設(shè)、
 , 
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824004717281745.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,故ECD的中點(diǎn).
證法二:設(shè)
,
兩式相減得
 
,

,即的中點(diǎn).
(3)設(shè)直線交雙曲線兩點(diǎn),交直線于點(diǎn).則中點(diǎn)的充要條件是
點(diǎn)評:求過定點(diǎn)的圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題,通常有下面兩種方法:(1)點(diǎn)差法,即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程后相減,得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系,從而求出直線方程.(2)聯(lián)立法,即將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理與判別式求解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

下列命題正確的是____________.
①若a>b,則alg>blg;
②若a>b>0,c>d>0,則a2>b2;
③若|a|>b,則a2>b2;
④若a>|b|,則a2>b2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

給定兩個命題,
:對任意實(shí)數(shù)都有恒成立;:關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根;如果“”為假,且“”為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列說法錯誤的是 (  )
A.命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為:“若x≠1,則x2-3x+2≠0”
B.“x>1”是“|x|>1”的充分不必要條件
C.若p且q為假命題,則p、q均為假命題
D.命題p:“?x∈R,使得x2+x+1<0”,則¬p:“?x∈R,均有x2+x+1≥0”

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

下列命題中正確的是      (寫出所有正確命題的題號)
①存在α滿足;
是奇函數(shù);
的一個對稱中心是(-;
的圖象可由的圖象向右平移個單位得到。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

①由“若”類比“若為三個向量,則”;②設(shè)圓與坐標(biāo)軸的4個交點(diǎn)分別為A (x1,0)、B (x2,0)、C (0,y1)、D (0,y2),則;③在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積”;④在實(shí)數(shù)列中,已知a1 = 0,,則的最大值為2.上述四個推理中,得出的結(jié)論正確的是_____________(寫出所有正確結(jié)論的序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知,若的充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是       

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中,真命題的個數(shù)可以是
A.1個或2個或3個或4個
B.0個或2個或4個
C.1個或3個
D.0個或4個

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知命題,則                  

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