Question

12．在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b．且a，b是方程x²-3x+6=0的兩恨（a＜b），cos（A+B）=$\frac{1}{2}$．
（1）求角C的度數(shù)
（2）求AB的長
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由A+B=180-C及誘導公式可求C；
（2）利用韋達定理可得a+b=3，ab=6，進而利用余弦公式可求c；
（3）利用面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC即可得解．

解答 解：（1）∵由cos（A+B）=$\frac{1}{2}$，得：cos（180°-C）=$\frac{1}{2}$，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
又∵0°＜C＜180°，
∴C=120°；
（2）∵a，b是方程x²-3x+6=0的兩根，
由韋達定理，得a+b=3，ab=6，
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos120°=（a+b）²-ab=9-6=3，
∴c=$\sqrt{3}$；
（3）△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查了三角形面積公式、余弦定理等知識在解三角形中的應用，熟記相關公式是解題關鍵，屬于基礎題．