Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-

kx

1+x

，k∈R．
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)k=1時，求f（x）在[0，+∞）上的最小值，并證明

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

＜ln（1+n）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）的定義域為（-1，+∞）．f′（x）=

x+1-k

(1+x)2

，對k分類討論：當(dāng)k≤0時，當(dāng)k＞0時，即可得出單調(diào)性．
（2）由（1）知，當(dāng)k=1時，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，可得f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（0）=0．因此

x

1+x

＜ln(1+x)（x＞0），取x=

1

n

可得

1

1+n

＜ln(1+n)-lnn（n∈N^*）．利用“累加求和”即可得出．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為（-1，+∞）．f′(x)=

1

1+x

-k•

1+x-x

(x+1)2

=

x+1-k

(1+x)2

，
當(dāng)k≤0時，f′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間．
當(dāng)k＞0時，由f′（x）＞0解得x＞k-1，由f′（x）＜0得-1＜x＜k-1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（k-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，k-1）．

（2）由（1）知，當(dāng)k=1時，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（0）=0．
∴

x

1+x

＜ln(1+x)（x＞0），
∴

1 n

1+ 1 n

＜ln(1+

1

n

)，即

1

1+n

＜ln(1+n)-lnn（n∈N^*）．
∴

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+（ln（n+1）-lnn）=ln（1+n）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、“累加求和”方法，考查了利用已證明結(jié)論證明不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．