【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若,求證:

(2)若時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見證明;(2)

【解析】

(1)由題意知f′(x)=ex,(x>﹣a).對(duì)a分類討論:當(dāng)a=0時(shí),可判斷顯然成立.當(dāng)0<a≤1時(shí),經(jīng)過分析得出fx)的最小值為f(0),代入計(jì)算即可證明結(jié)論.

(2)等價(jià)于,利用進(jìn)行放縮,轉(zhuǎn)化為恒成立時(shí)的a的范圍,得到a<1,再去舉反例說明時(shí),不恒成立,即可得到a的范圍.

(1)由,得 .

當(dāng),顯然成立.

當(dāng)時(shí),令 ,則

為增函數(shù).

,可知函數(shù)為減函數(shù),在上為增函數(shù),

所以函數(shù)的最小值為

.

當(dāng)時(shí),,,所以成立,

綜上當(dāng),有成立.

(2)因?yàn)楫?dāng)時(shí),,

所以

則有.

又因?yàn)?/span>,所以若,則有.

,則,由,得.

當(dāng)時(shí),,函數(shù)上單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)上單調(diào)遞增,

.

當(dāng)時(shí),存在,使得成立,

這與矛盾,所以,又,

綜上,即實(shí)數(shù)的取值范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某船由甲地逆水行駛到乙地,甲、乙兩地相距skm),水的流速為常量a),船在靜水中的最大速度為b)(),已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比,比例系數(shù)為k,則船在靜水中的航行速度為多少時(shí),其全程的燃料費(fèi)用最省?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

1)若恒成立,求的取值范圍;

2)①若,試討論的單調(diào)性;

②若有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求的取值范圍,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在梯形中(圖1),, ,過分別作的垂線,垂足分別為,已知 ,將梯形沿同側(cè)折起,使得 ,得空間幾何體(圖2). 

(1)證明: 平面

(2)求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2020年春,新型冠狀病毒在我國(guó)湖北武漢爆發(fā)并訊速蔓延,病毒傳染性強(qiáng)并嚴(yán)重危害人民生命安全,國(guó)家衛(wèi)健委果斷要求全體人民自我居家隔離,為支援湖北武漢新型冠狀病毒疫情防控工作,各地醫(yī)護(hù)人員紛紛逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社區(qū)為保障居民的生活不受影響,由社區(qū)志愿者為其配送蔬菜、大米等生活用品,記者隨機(jī)抽查了男、女居民各100名對(duì)志愿者所買生活用品滿意度的評(píng)價(jià),得到下面的2×2列聯(lián)表.

特別滿意

基本滿意

80

20

95

5

1)被調(diào)查的男性居民中有5個(gè)年輕人,其中有2名對(duì)志愿者所買生活用品特別滿意,現(xiàn)在這5名年輕人中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人特別滿意的概率.

2)能否有99%的把握認(rèn)為男、女居民對(duì)志愿者所買生活用品的評(píng)價(jià)有差異?

附:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】學(xué)生學(xué)習(xí)的自律性很重要.某學(xué)校對(duì)自律性與學(xué)生成績(jī)是否有關(guān)進(jìn)行了調(diào)研,從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到列聯(lián)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:

自律性一般

自律性強(qiáng)

合計(jì)

成績(jī)優(yōu)秀

40

成績(jī)一般

20

合計(jì)

50

100

1)補(bǔ)全列聯(lián)表中的數(shù)據(jù);

2)判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的自律性與學(xué)生成績(jī)有關(guān).

參考公式及數(shù)據(jù):.

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)證明:.(注:,是常數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著,其中的“更相減損術(shù)”可以用來求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),原文是:可半者半之,不可半者,副置分母、子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之. 翻譯為現(xiàn)代的語(yǔ)言如下:如果需要對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分,那么可以折半的話,就折半(也就是用2來約分).如果不可以折半的話,那么就比較分母和分子的大小,用大數(shù)減去小數(shù),互相減來減去,一直到減數(shù)與差相等為止,用這個(gè)相等的數(shù)字來約分,現(xiàn)給出“更相減損術(shù)”的程序框圖如圖所示,如果輸入的,,則輸出的( )

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列四個(gè)命題:

三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子,其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球是必然事件;②當(dāng)為某一實(shí)數(shù)時(shí),可使是不可能事件;③明天蘭州要下雨是必然事件;④100個(gè)燈泡中取出5個(gè),5個(gè)都是次品是隨機(jī)事件.

其中正確命題的序號(hào)是(

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①②

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