Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點M（0，2）是橢圓的一個頂點，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點P是橢圓C上一動點，求線段PM的中點Q的軌跡方程；
（3）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=8，探究：直線AB是否過定點，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知可得 b=2，，…（2分）
∴所求橢圓方程為． …（4分）
（2）設(shè)點P（x₁，y₁），PM的中點坐標(biāo)為Q（x，y），則 …（6分）
由，得x₁=2x，y₁=2y-2代入上式得 …（10分）
（3）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₂，y₂），則將直線方程代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0． …（11分）
則，．
∵k₁+k₂=8，∴+=8，
∴2k+（m-2）×=8． …（12分）
∴k-=4，整理得m=．
故直線AB的方程為y=kx+，即y=k（x+）-2．
所以直線AB過定點（，-2）． …（14分）
若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，
設(shè)A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知+=8，得x₀=-．
此時AB方程為x=-，顯然過點（，-2）．
綜上，直線AB過定點（，-2）． …（16分）
分析：（1）由已知點M（0，2）是橢圓的一個頂點，△F₁MF₂是等腰直角三角形，可求幾何量，從而可求橢圓方程；
（2）確定點P、PM的中點坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點P是橢圓C上一動點，即可求得線段PM的中點Q的軌跡方程；
（3）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程代入橢圓方程，利用韋達定理及k₁+k₂=8，可得直線AB的方程，從而可得直線AB過定點；若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，求出直線AB的方程，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．