【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,為側(cè)棱上的點(diǎn).

1)求證:

2)若平面,求二面角的大。

3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.

【答案】(1)詳見解析(230°3SE∶EC2∶1

【解析】試題分析:(1)連BD,設(shè)AC交于BDO,由題意知SO⊥平面ABCD.以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)底面邊長為a,求出高SO,從而得到點(diǎn)S與點(diǎn)CD的坐標(biāo),求出向量,計(jì)算它們的數(shù)量積,從而證明出OC⊥SD,則AC⊥SD;(2)根據(jù)題意先求出平面PAC的一個(gè)法向量和平面DAC的一個(gè)法向量,設(shè)所求二面角為θ,則,從而求出二面角的大小;(3)在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC,根據(jù)()知是平面PAC的一個(gè)法向量,設(shè),求出,根據(jù)可求出t的值,從而即當(dāng)SEEC=21時(shí),,而BE不在平面PAC內(nèi),故BE∥平面PAC

試題解析:(1)證明:連BD,設(shè)ACBDO,由題意SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD

2)設(shè)正方形邊長a,則

,所以∠SDO60°

OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD.所以∠POD是二面角PACD的平面角.

SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD30°,

即二面角PACD的大小為30°

3)在棱SC上存在一點(diǎn)E,使BE∥平面PAC

由(2)可得,故可在SP上取一點(diǎn)N,使PNPD.過NPC的平行線與SC的交點(diǎn)即為E.連BN,在△BDN中知BN∥PO

又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC

由于SN∶NP2∶1,故SE∶EC2∶1

練習(xí)冊系列答案
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