Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-2x+7，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n的最大值；
（2）令b_n=$\sqrt{2^{_{a_n}}}$，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由f′（x）=2ax+b=-2x+7，得f（x）=-x²+7x，從而得到${S}_{n}=-{n}^{2}+7n$，由此能求出結(jié)果．
（2）由題意得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為8，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，由此利用錯(cuò)位相減法能求出{nb_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f′（x）=2ax+b，
由f′（x）=-2x+7，得a=-1，b=7，
所以f（x）=-x²+7x，
又因?yàn)辄c(diǎn)P_n（n，S_n）（n∈N*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
所以有${S}_{n}=-{n}^{2}+7n$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，
∴a_n=-2n+8（n∈N*）．
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，
∴當(dāng)n=3或n=4時(shí)，S_n取得最大值12；
綜上，a_n=-2n+8（n∈N*），當(dāng)n=3或n=4時(shí)，S_n取得最大值12．
（2）由題意得$_{1}=\sqrt{{2}^{6}}=8$，$_{n}=\sqrt{{2}^{-2n+8}={2}^{-n+4}}$，
所以$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$，即數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為8，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴$_{n}=8×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^-n+4，∴nb_n=n×2^-n+4．
故{nb_n}的前n項(xiàng)和：
${T}_{n}=1×{2}^{3}+2×{2}^{2}+…+n×{2}^{-n+4}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}=1×{2}^{2}+2×2+…+（n-1）×{2}^{-n+4}$+n×2^-n+3，②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}={2}^{3}+{2}^{2}+…+{2}^{-n+4}-n×{2}^{-n+3}$，
∴T_n=$\frac{16[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}-n×{2}^{4-n}$=32-（2+n）•2^4-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的最大值的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．