Question

3．已知$\overrightarrow a$=（cosx，sinx），$\overrightarrow b$=（sinx+$\sqrt{2}$，cosx+$\sqrt{2}）$，設(shè)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）已知m∈R，p：?x∈R使不等式f（x）≥m²+2m成立；q：函數(shù)y=lg（x²+2mx+1）的定義域?yàn)镽．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的表達(dá)式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值即可；
（Ⅱ）分別求出p，q為真時(shí)的m的范圍，通過(guò)討論p，q的真假，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=sinxcosx+\sqrt{2}cosx+sinxcosx+\sqrt{2}sinx$=$2sinxcosx+\sqrt{2}（sinx+cosx）$（2分）
令sinx+cosx=t，則$t∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$，2sinxcosx=t²-（13分）
∴$f（x）=φ（t）={t^2}+\sqrt{2t}-1={（t+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}-\frac{3}{2}$，
∴$f{（x）_{max}}=φ{(diào)（t）_{max}}=φ（\sqrt{2}）=3$（5分）
（Ⅱ）若?x∈R使不等式f（x）≥m²+2m成立  則m²+2m≤f（x）_max=3⇒-3≤m≤1（17分）
若函數(shù)y=lg（x²+2mx+1）的定義域?yàn)镽則△=4m²-4＜0⇒-1＜m＜1（19分）
∵“p或q”為真，“p且q”為假∴p、q一真一假
若p真q假，則$\left\{{\begin{array}{l}{-3≤m≤1}\\{m≤-1或m≥1}\end{array}}\right.⇒-3≤m≤-1或m=1$
若p真q假，則$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-3或m＞1}\\{-1＜m＜1}\end{array}}\right.⇒m∈∅$
綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-3，-1]∪{1}（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的運(yùn)算性質(zhì)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．