Question

已知函數（常數a∈R⁺）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（Ⅱ）試研究函數f（x）在定義域內的單調性，并利用單調性的定義給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先要考慮函數的定義域，然后利用函數奇偶性的定義即可獲得問題的解答；
（Ⅱ）首先將絕對值函數轉化為分段函數，然后分類討論不同段上的函數單調性即可，討論時用定義法即可．
解答：解：（1）定義域為：（-∞，0）∪（0，+∞）
∵，
∴f（x）是偶函數．
（2）f（x）=（a∈R⁺）
1若或，則f（x）=，設
由≤x₁＜x₂⇒x₁²x₂²≥a²⇒≤且x₂²-x₁²＞0，
當⇒a 時，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在上是增函數；
又f（x）是偶函數，f（x）在上是減函數．
當時，時，
，1≤x₁＜x₂時，
．
∴f（x）在上是減函數，
在[1，+∞）上是增函數；
又f（x）是偶函數，在上是增函數，
在（-∞，-1]上是減函數．
2若，則f（x）=，
設，同理∴f（x）在上是減函數，
又f（x）是偶函數，于是f（x）在上是增函數．
由12知：當0＜a≤1時，f（x）在（0，1]上是減函數，
在[1，+∞）上是增函數，在（-∞，-1]上是減函數，在[-1，0）上是增函數；
當a＞1時，f（x）在上是減函數，在上是增函數，
在上是減函數，在上是增函數．
點評：本題考查的是函數奇偶性與單調性判斷與證明的問題．在解答的過程當中充分體現了函數奇偶性和單調性的定義、分類討論的思想以及問題轉化的能力．值得同學們體會和反思．