Question

已知b＞-1，c＞0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（1）設(shè)b=φ（c），求φ（c）；
（2）設(shè)D（x）=

g(x)

f(x)

（其中x＞-b）在[-1，+∞）上是增函數(shù)，求c的最小值；
（3）是否存在常數(shù)c，使得函數(shù)H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x²+bx+c的圖象相切，聯(lián)立方程得到一個(gè)一元二次方程，方程只有一個(gè)根，△=0，推出φ（c）；
（2）把g（x）和f（x）代入D（x），然后對(duì)D（x）進(jìn)行求導(dǎo)，證明D（x）在[-1，+∞）上是增函數(shù)，可以等價(jià)為1-

c

x+b

≥0在[-1，+∞）上恒成立，求出c的最小值；
（3）對(duì)H（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)可得H（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，要使函數(shù)H（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)，只需要滿足△=4（b²-3c）=4（c-4

c

+1）＞0，求出c的范圍；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x²+bx+c的圖象相切，
∴方程x+b=x²+bx+c只有一個(gè)根，即x²+（b-1）x+c-b=0，
∴△=（b-1）²-4×（c-b），
∴（b+1）²=4c，b＞-1，c＞0，
∴b+1＞0，∴b=2

c

-1，
∴b=φ（c）=2

c

-1；
（2）依題意設(shè)D（x）=

x2+bx+c

x+b

=x+

c

x+b

，
∴D′（x）=1-

c

(x+b)2

=（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）
∵D（x）在[-1，+∞）上是增函數(shù)，
∴（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）≥0在[-1，+∞）上恒成立，
又x＞-b，c＞0，
∴上式等價(jià)于1-

c

x+b

≥0在[-1，+∞）上恒成立，
即

c

≤x+b，而由（Ⅰ）可知

c

≤x+2

c

-1，
∴

c

≥1-x，
又函數(shù)1-x在[-1，+∞）上的最大值為2，
∴

c

≥2，解得c≥4，即c的最小值為4．
（3）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc
可得H′（x）=3x²+4bx+（b²+c）
令3x²+4bx+（b²+c）=0，依題意設(shè)欲使函數(shù)H（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)，
則需滿足△=4（b²-3c）=4（c-4

c

+1）＞0，
亦即c-4

c

+1＞0，解得

c

＜2-

3

或

c

＞2+

3

，
又c＞0，∴0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

，
故存在常數(shù)c∈（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞），使得函數(shù)H（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，此題是一道中檔題；