Question

設(shè)P是橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上一點，點M，N分別是兩圓：（x+2）²+y²=1和（x-2）²+y²=1上的點，則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為

 

，

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：橢圓的焦點恰好是兩圓的圓心，利用橢圓的定義先求出點P到兩焦點的距離|PF₁|+|PF₂|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值轉(zhuǎn)化成|PF₁|+|PF₂|減去兩個半徑和加上兩個半徑．

解答： 解：由橢圓的方程可知：a=3，b=

5

，c=2
所以橢圓的兩焦點坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
∵P是橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上一點，
根據(jù)橢圓的定義：|PF₁|+|PF₂|=6
∵兩圓：（x+2）²+y²=1和（x-2）²+y²=1的圓心為（-2，0），（2，0）
和橢圓的兩焦重合，半徑都為1
∴|PF₁|+|PF₂|-2≤|PM|+|PN|≤|PF₁|+|PF₂|+2
4≤|PM|+|PN|≤8
∴|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為4，8．
故答案為4，8．

點評：本題主要考查了橢圓的定義，解決本題的關(guān)鍵是把|PM|+|PN|的最小值、最大值轉(zhuǎn)化成與兩圓的半徑差與和問題．