Question

在極坐標系中，已知圓C的圓心C(3，

π

6

)，半徑r=1，Q點在圓C上運動．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）若P在直線OQ上運動，且

.

OQ

=

2

3

.

QP

，求動點P軌跡的極坐標方程．

Answer 1

分析：（1）先利用圓心坐標與半徑求得圓的直角坐標方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓C的極坐標方程．
（2）由OQ：QP=2：3，得OQ：OP=2：5．從而得到點P的參數(shù)方程ρ=6cos(θ-

π

6

)×

5

2

=15cos(θ-

π

6

)．下面利用三角函數(shù)的和角公式化簡即可．

解答：解：（1）將圓心C(3，

π

6

)，化成直角坐標為（

3 3

2

，

3

2

），半徑R=1，（2分）
故圓C的方程為（x-

3 3

2

）²+（y-

3

2

）²=1．（4分）
再將C化成極坐標方程，得（ρcosθ-

3 3

2

）²+（ρsinθ-

3

2

）²=1．（6分）
化簡，得ρ 2=6ρcos(θ-

π

6

)-8．
此即為所求的圓C的方程．（10分）
（2）由OQ：QP=2：3，得OQ：OP=2：5．
所以點P的參數(shù)方程為：ρ=6cos(θ-

π

6

)×

5

2

=15cos(θ-

π

6

)．
即ρ=

15 3

2

cosθ+

15

2

sinθ?ρ2=

15 3

2

ρcosθ+

15

2

ρsinθ
ρ2=15ρcos(θ-

π

6

)-50．

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，即利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即可．