Question

18．已知圓C：（x-m）²+（y+m-3）²=r²（m∈R，r＞0）．
（1）若圓C在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求r的取值范圍；
（2）當r=2時，設(shè)EF、GH為圓C的兩條互相垂直的弦，垂足為M（m+1，$\sqrt{2}$-m+3），求四邊形EGFH面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程求出圓心坐標，結(jié)合圓C在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，可得關(guān)于m的不等式組，得到$\left\{\begin{array}{l}{3m-6≤0}\\{3m-1≥0}\end{array}\right.$．當圓與直線x-2y=0相切時，${r}_{1}=\frac{|m-2（-m+3）|}{\sqrt{5}}=\frac{-3m+6}{\sqrt{5}}$，當圓與直線x-2y+2=0相切時，${r}_{2}=\frac{|2m-（-m+3）+2|}{\sqrt{5}}=\frac{3m-1}{\sqrt{5}}$．則由r₁=r₂，得-3m+6=3m-1，求得m值，得到圓心坐標，進一步求出半徑r的取值范圍；
（2）|CM|＜2可得點M在圓C內(nèi)，設(shè)圓心C到直線EF、GH的距離分別為d₁、d₂，則${eugvzwh_{1}}^{2}+{idixbjj_{2}}^{2}=|CM{|}^{2}=3$．求出|EF|=$2\sqrt{{r}^{2}-{izlttxe_{1}}^{2}}=2\sqrt{4-{dgzwtem_{1}}^{2}}$，|GH|=$2\sqrt{{r}^{2}-{yebmjuc_{2}}^{2}}=2\sqrt{4-{mdpbmqc_{2}}^{2}}$．代入四邊形面積公式，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）圓C：（x-m）²+（y+m-3）²=r²的圓心C（m，-m+3），
又圓C在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2（-m+3）≤0}\\{2m-（-m+3）+2≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3m-6≤0}\\{3m-1≥0}\end{array}\right.$．
當圓與直線x-2y=0相切時，${r}_{1}=\frac{|m-2（-m+3）|}{\sqrt{5}}=\frac{-3m+6}{\sqrt{5}}$，
當圓與直線x-2y+2=0相切時，${r}_{2}=\frac{|2m-（-m+3）+2|}{\sqrt{5}}=\frac{3m-1}{\sqrt{5}}$．
依題意，要使圓C位于區(qū)域內(nèi)且半徑最大，當且僅當圓與兩直線都相切，即r₁=r₂，
∴-3m+6=3m-1，解得m=$\frac{7}{6}$，
此時圓心C（$\frac{7}{6}，\frac{11}{6}$），半徑r=$\frac{|3m-6|}{\sqrt{5}}=\frac{|3×\frac{7}{6}-6|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴半徑r的取值范圍為（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]；
（2）∵|CM|=$\sqrt{（m+1-m）^{2}+（\sqrt{2}-m+3+m-3）^{2}}=\sqrt{3}＜2$．
∴點M在圓C內(nèi)．
設(shè)圓心C到直線EF、GH的距離分別為d₁、d₂，則${sfcyckh_{1}}^{2}+{gmckdoo_{2}}^{2}=|CM{|}^{2}=3$．
|EF|=$2\sqrt{{r}^{2}-{kqckvzd_{1}}^{2}}=2\sqrt{4-{qlxmugc_{1}}^{2}}$，|GH|=$2\sqrt{{r}^{2}-{trzzozd_{2}}^{2}}=2\sqrt{4-{neeltqy_{2}}^{2}}$．
∴${S}_{EGFH}=\frac{1}{2}|EF|•|GH|=2\sqrt{4-{twtgawd_{1}}^{2}}•\sqrt{4-{sfjxuny_{2}}^{2}}$$≤4-{vfcnggy_{1}}^{2}+4-{qaqnkkp_{2}}^{2}=8-3=5$．
當且僅當$4-{kqccvrs_{1}}^{2}=4-{xwtfuyk_{2}}^{2}$，即$aowatal_{1}=lgrcdop_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$時，等號成立．
∴四邊形EGFH面積的最大值為5．

點評 本題考查圓的標準方程，考查直線與圓位置關(guān)系的應用，考查計算能力，是中檔題．