Question

7．已知圓C：x²+y²-6x-8y+21=0．
（1）若直線l₁過定點A（1，1），且與圓C相切，求l₁的方程；
（2）若圓D的半徑為3，圓心在直線l₂：x-y+2=0上，且與圓C外切，求圓D的方程．

Answer 1

分析 （1）將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)與半徑r即可；設(shè)直線l方程為y-1=k（x-1），根據(jù)直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式求出k的值，即可確定出直線l的方程
（2）依題意設(shè)D（a，a+2），又已知圓心C為（3，4），半徑為2，由$\sqrt{（a-3）^{2}+（a+2-4）^{2}}=5$
解得a=-1，或a=6即可．

解答 解：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圓心C（3，4），半徑r=2；
當(dāng)直線l₁斜率不存在時，直線x=1滿足題意；
當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l₁方程為y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
根據(jù)題意得：圓心C到直線l₁的距離d=r，即$\frac{|3k-4-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{|2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得：k=$\frac{5}{12}$，
此時直線l方程為5x-12y+7=0，
綜上，直線l方程為x=1或5x-12y+7=0；
（2）依題意設(shè)D（a，a+2），又已知圓心C為（3，4），半徑為2，
∴$\sqrt{（a-3）^{2}+（a+2-4）^{2}}=5$，
解得a=-1，或a=6
∴D（-1，1）或（6，8）
∴圓D的方程為：（x-6）²+（y-8）²=9或（x+1）²+（y-1）²=9，

點評 本題考查了圓的切線，圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．