【題目】如圖,三棱柱的所有棱長均為2,平面平面, , 為的中點.
(1)證明: ;
(2)若是棱的中點,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2) 所以二面角的余弦值為.
【解析】試題分析:(1)證線線垂直,由平面平面得平面,再由底面圖形得線線垂直.(2)建系求面的法向量,得法向量的夾角.
解:
(1)證明:取中點,設(shè)與交于點,連接, ,依題意得,
因為平面平面,平面平面, ,
所以平面,即平面,所以,
又因為四邊形為菱形,所以,又,所以平面,
而平面,所以.
(2)解:由(1)結(jié)合已知得: , , ,
以為原點,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,因為側(cè)面是邊長為2的菱形,且,
所以, , , , ,
所以, , ,
設(shè)平面的法向量為,
則由得,令,可取,
而平面的一個法向量,由圖可知二面角為銳角,
因為.
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,我國許多省市霧霾天氣頻發(fā),為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識,某市面向全市征召名義務(wù)宣傳志愿者,成立環(huán)境保護(hù)宣傳組織,現(xiàn)把該組織的成員按年齡分成組第組,第組,第組,第組,第組,得到的頻率分布直方圖如圖所示,已知第組有人.
(1)求該組織的人數(shù);
(2)若在第組中用分層抽樣的方法抽取名志愿者參加某社區(qū)的宣傳活動,應(yīng)從第組各抽取多少名志愿者?
(3)在(2)的條件下,該組織決定在這名志愿者中隨機(jī)抽取名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗,求第組至少有名志愿者被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以原點為極點, 軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與軸, 軸分別交于兩點,點是圓上任一點,求兩點的極坐標(biāo)和面積的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究所計劃利用“神十”宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載實驗,計劃搭載若干件新產(chǎn)品A、B,該所要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實驗費(fèi)用和預(yù)計產(chǎn)生的收益來決定具體搭載安排,有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
每件產(chǎn)品A | 每件產(chǎn)品B | ||
研制成本、搭載 | 20 | 30 | 計劃最大資金額 |
產(chǎn)品重量(千克) | 10 | 5 | 最大搭載重量110千克 |
預(yù)計收益(萬元) | 80 | 60 |
分別用x,y表示搭載新產(chǎn)品A,B的件數(shù).總收益用Z表示
(1)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(2)問分別搭載新產(chǎn)品A、B各多少件,才能使總預(yù)計收益達(dá)到最大?并求出此最大收益.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列對應(yīng)值如下表:
x | |||||||
y | ﹣1 | 1 | 3 | 1 | ﹣1 | 1 | 3 |
(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f(x)的一個解析式.
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,若函數(shù)y=f(kx)(k>0)周期為 ,當(dāng) 時,方程f(kx)=m恰有兩個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC, ,
E,F分別是A1C1,BC的中點.
(Ⅰ)求證:C1F∥平面ABE;
(Ⅱ)求三棱錐E-ABC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分,(1)小問5分,(2)小問7分)
如圖,橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點,且
(1)若,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)若求橢圓的離心率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x∈R,[x]表示不超過x的最大整數(shù),若函數(shù) 有且僅有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若對任意的x1∈[﹣1,2],存在x0∈[﹣1,2],使g(x1)=f(x0),則a的取值范圍是( )
A.
B.
C.[3,+∞)
D.(0,3]
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