Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

（x≥1），若a為正常數(shù)，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由已知得f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，x≥1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的最小值．

解答： 解：f（x）=

x2+2x+a

x

=x+

a

x

+2，x≥1
∴f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，x≥1，
當(dāng)

a

＜1，即0＜a＜1時(shí)，由x≥1，知f′（x）＞0，
∴f（x）的最小值為f（1）=3+a；
當(dāng)

a

≥1時(shí)，即a≥1時(shí)，由f′（x）＞0，得x＞

a

，由f′（x）＜0，得1≤x＜

a

，
∴f（x）的最小值為f（

a

）=2+2

a

．
綜上所述，f（x）的最小值為：

3+a，0＜a＜1 2+2 a ，a≥1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．