已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f(
9
2
)的值是（　�。�
分析：由xf（x+1）=（1+x）f（x）結(jié)構(gòu)來看，選用遞推的方法，用賦值法依次求出f（
1
2
）=0，f（
3
2
），f（
5
2
），f（
7
2
），f（
9
2
），從而得到答案．
解答：解：∵對任意實數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），
∴令x=-
1
2
，則有-
1
2
f（-
1
2
+1）=（1-
1
2
）f（-
1
2
），即f（-
1
2
）=-f（
1
2
）①，
又∵函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，
∴f（-
1
2
）=f（
1
2
）②，
∴由①②得f（
1
2
）=0，
再令x=
1
2
，則有f（
3
2
）=0，
令x=
3
2
，則有f（
5
2
）=0，
令x=
5
2
，則有f（
7
2
）=0，
令x=
7
2
，則有f（
9
2
）=0．
故選：D．
點評：本題主要考查抽象函數(shù)用遞推的方法求函數(shù)值，這類問題關(guān)鍵是將條件和結(jié)論有機地結(jié)合起來，作適當變形，把握遞推的規(guī)律．解題中要注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設(shè)O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　　）

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