Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，下列結(jié)論中
①?x₀∈R，f（x₀）=0
②函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形 
③若x₀是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）單調(diào)遞減 
④若x₀是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x₀）=0．
正確的個(gè)數(shù)有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由根的存在性定理，判定出命題正確；
②求出f（x）的對稱中心，可以判定命題正確；
③求出f′（x），分△＞0與△≤0討論，可以得出命題錯(cuò)誤；
④f（x）的極值點(diǎn)處，f′（x）=0．

解答：解：①對于f （x ）=x³+ax²+bx+c，x∈R，當(dāng)x→-∞時(shí)，y→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞；
∴?x₀∈R，使f（x₀）=0，命題正確；
②∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=[(-

2a

3

-x)3+a(-

2a

3

-x)2+b（-

2a

3

-x）+c]+（x³+ax²+bx+c）=

4a3

9

-

2ab

3

+2c，
f（-

a

3

）=

2a3

9

-

ab

3

+c，
∴f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），
∴f（x）關(guān)于點(diǎn)P（-

a

3

，f（-

a

3

））成中心對稱，∴命題正確；
③∵f′（x）=3x²+2ax+b．
（i）當(dāng)△=4a²-12b＞0時(shí)，f′（x）=0有兩解，不妨設(shè)為x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：
x₂是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，但是f（x）在區(qū)間（-∞，x₂）不具有單調(diào)性，∴命題不正確；
（ii）當(dāng)△≤0時(shí)，f′（x）=3x²+2ax+b≥0恒成立，∴f（x）在R上單調(diào)增函數(shù)，不存在極值點(diǎn)；
④由表格可知x₁，x₂分別為f（x）的極值點(diǎn)，且f′（x₁）=f′（x₂）=0，∴命題正確．
綜上，正確的命題有①②④；
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，也考查了函數(shù)圖象的對稱問題，是易錯(cuò)題．