Question

18．如圖，多面ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四邊形BDEF是正方形．
（1）求證：AE∥平面BCF；
（2）求直線AF與平面ABD所成角的正弦值；
（3）在線段EC上是否存在點(diǎn)P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出$\frac{PC}{EP}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過AD∥BC，DE∥BF得出平面ADE∥平面BCF，故而AE∥平面BCF；
（2）由BF⊥平面ABCD得出∠FAB為所求角，由菱形及正方形性質(zhì)得出AB=BF，故而∠FAB=45°；
（3）取AB的中點(diǎn)M，連接DM，以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)P（0，a，a），令$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CE}=0$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CF}=0$，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，四邊形BDEF是正方形，
∴AD∥BC，DE∥BF，
又AD?平面ADE，DE?平面ADE，AD∩DE=D，
BC?平面BCF，BF?平面BCF，BC∩BF=B，
∴平面ADE∥平面BCF，
又AE?平面ADE，
∴AE∥平面BCF．
（2）∵DE⊥平面ABCD，BF∥DE，
∴BF⊥平面ABCD，
∴∠FAB為AF與平面ABD所成的角，
∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴BD=AB=2，又四邊形BDEF是正方形．
∴BF=BD=2．
∴AF=$\sqrt{2}AB$=2$\sqrt{2}$，
∴直線AF與平面ABD所成角的正弦值為$\frac{BF}{AF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）取AB中點(diǎn)M，則DM⊥AB，∴DM⊥CD，
以D為原點(diǎn)，以DM，DC，DE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
∴A（$\sqrt{3}$，-1，0），C（0，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（$\sqrt{3}$，1，2）．
設(shè)線段EC上存在點(diǎn)P（0，a，2-a）（0≤a≤2），使得AP⊥平面CEF．
則$\overrightarrow{AP}$=（-$\sqrt{3}$，a+1，2-a）為平面CEF的一個(gè)法向量，
∵$\overrightarrow{CE}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{CF}$=（$\sqrt{3}$，-1，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a-2+4-2a=0}\\{-3-a-1+4-2a=0}\end{array}\right.$，方程組無解．
∴線段EC上不存在點(diǎn)P，使得AP⊥平面CEF．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．