Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，點M、N分別為BC、PA的中點，且PA=AB=2．
（1）證明：BC⊥AMN；
（2）在線段PD上是否存在一點E，使得MN∥面ACE？若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由．
（3）求二面角A-PD-C的正切值．

Answer 1

證明：（1）∵ABCD為菱形，
∴AB=BC
又∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC，
又M為BC中點，∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN
（2）存在點E，使得MN∥面ACE，理由如下：
取PD中點E，連接NE，EC，AE，
∵N，E分別為PA，PD中點，
∴NE

∥ .

.

1

2

AD
又在菱形ABCD中，CM

∥ .

.

1

2

AD
∴NE

∥ .

.

MC，即MCEN是平行四邊形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一點E，使得NM∥平面ACE，
此時 PE=

1

2

PD=

2

．
（3）過A作AE垂直PD于E，作CF垂直PD于F，
則AE=

2

，CF=

14

2

，EF=

2

2

，AC=2
設(shè)二面角A-PD-C的平面角為θ
則AC=

AE2+CF2+EF2-2•AE•CF•cosθ

=2
則cosθ=

7

7

則tanθ=

6