Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A（2，2），其焦點F在x軸上．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）設(shè)直線l是拋物線的準線，B在拋物線上且AB經(jīng)過焦點F，求證：以AB為直徑的圓與準線l相切．

Answer 1

解：（1）∵拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸上
∴設(shè)拋物線C的標準方程為y²=2px（p＞0）
∵點A（2，2）在拋物線上，
∴2²=2p•2，解得p=1，可得拋物線C的標準方程為y²=2x；
（2）設(shè)直線AB的方程為：x=ty+，與y²=2x消去x，得y²-2ty-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（m，n），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得y₁+y₂=2t，可得n=（y₁+y₂）=t
代入直線方程，得m=（1+2t²）
∴點M到準線l的距離為d=m+=（1+2t²）+=1+t²
又∵AB是經(jīng)過拋物線焦點的弦，
∴|AB|=x₁+x₂+p=2m+1=（1+2t²）+1=2（1+t²）
即點M到準線l的距離為d=1+t²=|AB|，可得以AB為直徑的圓與準線l相切．
分析：（1）設(shè)拋物線C的標準方程為y²=2px，代入題中A點的坐標求出p的值，即可得到拋物線C的標準方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為：x=ty+，與y²=2x聯(lián)解得到AB中點的坐標為M（t²+，t），從而得到M到準線的距離d=1+t²．因為拋物線的焦點弦AB長為2+2t²，得到d=|AB|，所以以AB為直徑的圓與準線l相切，命題得證．
點評：本題給出拋物線經(jīng)過點A（2，2），求拋物線方程并證明以AB為直徑的圓與準線相切，著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．