Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+a_n=2n+1，
（1）寫出a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用S_n+a_n=2n+1，代入計(jì)算，可得結(jié)論，猜想a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
（2）用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（1）由S_n+a_n=2n+1得a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{7}{4}$，a₃=$\frac{15}{8}$，
故猜想a_n=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
（2）證明①當(dāng)n=1時(shí)a₁=$\frac{3}{2}$，結(jié)論成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）+1-a_k+1-（2k+1-a（2k+1-a_k））
∴2a_k+1=a_k+2=4-$\frac{1}{{2}^{k}}$，∴a_k+1=2-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
由①②知對于任何正整數(shù)n，結(jié)論成立．

點(diǎn)評 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而得證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法