Question

10．SC為球O的直徑，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2，∠ASC=∠BSC=$\frac{π}{4}$，若棱錐A-SBC的體積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，則球O的體積為$\frac{32}{3}π$．

Answer 1

分析 由題意求出SA=AC=SB=BC=$\sqrt{2}$R，∠SAC=∠SBC=90°，說(shuō)明球心O與AB的平面與SC垂直，求出OAB的面積，利用棱錐S-ABC的體積，求出R，即可求球O的體積．

解答 解：如圖：由題意，設(shè)球的直徑SC=2R，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)．
AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=$\sqrt{2}$R，
∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO與SC垂直，則S_△ABO=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$
進(jìn)而可得：V_S-ABC=V_C-AOB+V_S-AOB，
所以棱錐S-ABC的體積為：$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$•2R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以R=2，
此時(shí)三角形AOB為正三角形，符合，
所以球O的體積為$\frac{32}{3}π$．
故答案為$\frac{32}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接三棱錐的體積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，球心O與AB的平面與SC垂直是本題的解題關(guān)鍵，�？碱}型．