Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=5x-8
（1）求f（x）的解析式；
（2）若曲線y=f（x）上的任一點P（x₀，y₀）處的切線與直線x=0及直線y=x分別相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，求證：△AOB的面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）已知曲線上的點，并且知道過此點的切線方程，容易求出斜率，又知點（1，f（1））在曲線上，利用方程聯(lián)立解出a，b
（2）可以設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任一點，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯(lián)立，得到交點坐標(biāo)，接著利用三角形面積公式即可．

解答： （1）解：方程y=5x-8，當(dāng)x=1時，y=-3，
∵f（x）=ax-

b

x

，
∴f′（x）=a+

b

x2

，
∴

a+b=5 a-b=-3

解得a=1，b=4，故f（x）=x-

4

x

．
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任一點，由f′（x）=1+

4

x2

知曲線在點P（x₀，y₀）處的切線方程為
y-y₀=（1+

4

x02

）（x-x₀）
令x=0，得y=-

8

x0

，從而得切線與直線x=0的交點坐標(biāo)為（0，-

8

x0

）；
令y=x，得y=x=2x₀，從而得切線與直線y=x的交點坐標(biāo)為（2x₀，2x₀）；
∴點P（x₀，y₀）處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為

1

2

|-

8

x0

||2x₀|=8．
故曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為8．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圍成圖形的面積，同時考查了運算求解的能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．