Question

已知函數(shù)f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
（1）若m＜1，求證：函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
（2）如果函數(shù)f（x）的值域是[0，2]，試求m的取值范圍．
（3）如果函數(shù)f（x）的值域是[0，λm²]，試求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

解：（1）∵m＜1，且x∈[0，m]
∴0≤x＜1，∴0≤x²＜1，∴x²-3＜0
此時，f（x）=-x（x²-3）=-x³+3x
∵f′（x）=-3x²+3
∵0≤x²＜1
∴-3＜-3x²≤0
∴f′（x）=-3x²+3＞0
故此時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)
（2）令g（x）=x|x²-3|，x≥0
則
當時，g′（x）=3-3x²=0 得x=1
所以g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，]上是減函數(shù)
當x時，由g′（x）=3x²-3＞0，所以g（x）在[，+∞）上是增函數(shù)
所以當時，函數(shù)g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（）=0
從而0＜m＜1均不符合題意，1≤m≤均符合題意
當m，在時，f（x）∈[0，2]；時，f（x）∈[0，f（m）]
這時f（x）的值域是[0，2]的充要條件是f（m）≤2
即m³-3m≤2，（m-2）（m+1）²≤0，解得：
綜上所述，m的取值范圍是[1，2]
（3）據（2）知，當0＜m＜1時，函數(shù)f（x）的最大值是f（m）=3m-m³
由題意可知，3m-m³=λm²，即，是減函數(shù)，故λ的取值范圍是（2，+∞）
當1≤m≤2時，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=2
由題意可知，2=λm²，即，是減函數(shù)，故λ的取值范圍是
當m＞2時，函數(shù)f（x）的最大值是f（m）=m³-3m
由題意可知，m³-3m=λm²，即，是增函數(shù)，故λ的取值范圍是
綜上所述，λ的最小值是，且此時m=2
分析：（1）根據m的范圍可確定x的范圍，從而可以去掉函數(shù)內的絕對值符號，然后利用導數(shù)可證明增函數(shù)．
（2）先構造一個函數(shù)g（x），即沒有參數(shù)m限制的函數(shù)f（x），分段取絕對值符號變成分段函數(shù)，然后分別在各段內用導數(shù)判斷導數(shù)的單調性，從而確定g（x）最值，從中確定滿足條件的參數(shù)m的取值范圍．
（3）根據第（2）問得出的參數(shù)m的取值范圍，確定參數(shù)m的討論點，通過各段內的最大值等于λm² 得出實數(shù)λ的取值范圍，通過λ在各段的取值范圍確定最小值．
點評：本題主要考查利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，難點在對參數(shù)m的討論點怎么確定，特別是第三問又出現(xiàn)了另外一個參數(shù)λ，使問題更加復雜．