Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，8a_n+1=2a_n+$\sqrt{1+4{a}_{n}}$-1（n∈N），b_n=$\sqrt{1+4{a}_{n}}$（n∈N），數(shù)列c_n=$\frac{n（_{n}-1）}{4}$，n∈N^*，記數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜2．

Answer 1

分析 由b_n=$\sqrt{1+4{a}_{n}}$＞0（n∈N），可得b₁=3，$_{n}^{2}$=1+4a_n，代入8a_n+1=2a_n+$\sqrt{1+4{a}_{n}}$-1（n∈N），可得：2b_n+1=b_n+1，變形為：b_n+1-1=$\frac{1}{2}（_{n}-1）$，利用等比數(shù)列的通項公式可得：b_n．可得c_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 證明：∵b_n=$\sqrt{1+4{a}_{n}}$＞0（n∈N），
∴b₁=3，$_{n}^{2}$=1+4a_n，
代入8a_n+1=2a_n+$\sqrt{1+4{a}_{n}}$-1（n∈N），
∴$8×\frac{_{n+1}^{2}-1}{4}$=2×$\frac{_{n}^{2}-1}{4}$+b_n-1，
化為$（2_{n+1}）^{2}$=$（_{n}+1）^{2}$，
可得：2b_n+1=b_n+1，
變形為：b_n+1-1=$\frac{1}{2}（_{n}-1）$，
∴數(shù)列{b_n-1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為$\frac{1}{2}$．
∴b_n-1=2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^2-n．
∴數(shù)列c_n=$\frac{n（_{n}-1）}{4}$=$\frac{n}{4}×{2}^{2-n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$＜2．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．