Question

3．給出下列四個(gè)命題：
①若f′（x₀）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀取得極值；
②若m≥-1，則函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-m）的值域?yàn)镽；
③“函數(shù)f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定義域內(nèi)是奇函數(shù)”的充分不必要條件是“a=1”；
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），且y=f（x-$\frac{3}{4}$）為奇函數(shù)，則f（x）為R上的偶函數(shù)．
其中正確的命題序號是②③④．

Answer 1

分析 ①f′（x₀）=0是函數(shù)y=f（x）在x=x₀取得極值的必要不充分條件；
②若m≥-1，則-1-m≤0，因此真數(shù)x²-2x-m=（x-1）²-1-m可以取到所有大于0的實(shí)數(shù)，即可得出函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-m）的值域；
③由奇函數(shù)的定義可得：f（-x）+f（x）=0，化為（a²-1）（e^2x+1）=0，可得a²-1=0，解得a即可判斷出正誤．
④由y=f（x-$\frac{3}{4}$）為奇函數(shù)，可得f（-x-$\frac{3}{4}$）=-f（x-$\frac{3}{4}$），因此$f（-x-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}）$=-f（x）=f（x+$\frac{3}{2}$），可得f（-x）=f（x），即可得出奇偶性．

解答 解：①f′（x₀）=0是函數(shù)y=f（x）在x=x₀取得極值的必要不充分條件，例如f（x）=x³，f′（x）=3x²，雖然滿足f′（0）=0，但是x=0不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
②若m≥-1，則-1-m≤0，因此真數(shù)x²-2x-m=（x-1）²-1-m可以取到所有大于0的實(shí)數(shù)，因此函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-m）的值域?yàn)镽，正確；
③“函數(shù)f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定義域內(nèi)是奇函數(shù)”，可得f（-x）+f（x）=$\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}$+$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$=0，化為（a²-1）（e^2x+1）=0，∴a²-1=0，解得a=±1．∴“函數(shù)f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定義域內(nèi)是奇函數(shù)”的充分不必要條件是“a=1”．正確．
④定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），且y=f（x-$\frac{3}{4}$）為奇函數(shù)，∴f（-x-$\frac{3}{4}$）=-f（x-$\frac{3}{4}$），∴$f（-x-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}）$=-f（x）=f（x+$\frac{3}{2}$），
∴f（-x）=f（x），則f（x）為R上的偶函數(shù)，正確．
綜上可得：其中正確的命題序號是 ②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．