Question

如圖，互不相同的點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分別在角O的兩條邊上，所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積均相等．設(shè)OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，則a₉=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線等分線段定理

專題：計(jì)算題,立體幾何

分析：本題可以根據(jù)所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積均相等．然后利用所有的三角形都相似，面積比等于相似比的平方，得出一系列的等式，然后利用累乘法求得通項(xiàng)，進(jìn)一步求得結(jié)果．

解答： 解：依題意：互不相同的點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分別在角O的兩條邊上．
∵所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積均相等．
∴利用所有的三角形都相似，面積比等于相似比的平方，
若a₁=1，a₂=2，則令S△OA1B1=m（m＞0），
∴S梯形A1B1A2B2=3m，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

an

an-1

=

OAn

OAn-1

=

3n-2 3n-5

，
故an2=

3n-2

3n-5

an-12，
利用以累乘可得：an2=（3n-2）a12，
由于a₁=1，
∴a_n=

3n-2

，
∴a₉=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用知識(shí)較多：平行線分線段成比例定理，相似三角形面積比等于相似比的平方，數(shù)列通項(xiàng)中的累乘法，