Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點Q是拋物線C上一點且Q的縱坐標為4，點Q到焦點F的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）已知p＜8，過點M（5，-2）任作一條直線與拋物線C相交于點A，B，試問在拋物線C上是否存在點E，使得EA⊥EB總成立？若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意有Q（

8

p

，4），則有|QF|=

8

p

+

p

2

=5，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）由已知得y²=4x．假設(shè)在拋物線C上存在點E，使得EA⊥EB總成立．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₀，y₀），則y1y2+y0(y1+y2)+y02+16=0．設(shè)直線方程為x=m（y+2）+5，代入y²=4x中，有y²-4my-8m-20=0，由此能求出在拋物線C上存在點E（1，2），使得

EA

•

EB

=0總成立．

解答： 解：（Ⅰ）由題意有Q（

8

p

，4），則有|QF|=

8

p

+

p

2

=5，
解得p=2或p=8，
所以，拋物線方程為y²=4x或y²=16x．…（5分）
（Ⅱ）∵p＜8，∴y²=4x．
假設(shè)在拋物線C上存在點E，使得EA⊥EB總成立．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₀，y₀），
則有（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0，
即

(y12-y02)(y22-y02)

16

+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0，
又（y₁-y₀）（y₂-y₀）≠0，
得（y₁+y₀）（y₂+y₀）+16=0，
即y1y2+y0(y1+y2)+y02+16=0，…①…（9分）
設(shè)直線方程為x=m（y+2）+5，代入y²=4x中，
有y²-4my-8m-20=0，從而y₁+y₂=4m，且y₁y₂=-8m-20，
代入①中得：（4y₀-8）m+y02-4=0對于m∈R恒成立，
故4y₀-8=0，且y02-4=0，解得y₀=2，得E（1，2）．…（14分）
若直線過點（1，2），結(jié)論顯然成立
所以，在拋物線C上存在點E（1，2），使得

EA

•

EB

=0總成立．…（15分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查在拋物線C上存在點E使得

EA

•

EB

=0總成立的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．