Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為正三角形，ABCD是平行四邊形且  AB=BD=

10

4

PA．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求PA與平面PBC所成的角．

Answer 1

分析：（1）取AD中點為O，由已知中△PAD為正三角形，易得PO⊥AD，再由平面PAD⊥平面ABCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥面ABCD，故可以以O(shè)為坐標原點建立空間坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出直線AD與直線PB的方向向量，代入向量數(shù)量積公式，即可得到他們的方向向量數(shù)量積為0，進而得到AD⊥PB；
（2）求出直線PA的方向向量及平面PBC的法向量，代入線面夾角的向量法公式，求出線面夾角的正弦值，進而得到直線PA與平面PBC所成的角．

解答：解：取AD中點為O
∵△PAD為正三角形
∴PO⊥AD（1分）
又面PAD⊥面ABCD且交線為AD
∴PO⊥面ABCD（2分）
又在平行四邊形ABCD中AB=BD∴OB⊥AD
∴建立坐標系如圖：

OA

為x軸，

OB

為y軸，

OP

為z軸（3分）
（1）證明：又AB=BD=

10

4

PA，
∴設(shè)PA=4，則AB=BD=

10

，則OB=

6

（4分）
∴A（2，0，0），D（-2，0，0），B（0，

6

，0），C（-4，

6

，0），P（0，0，2

3

）（5分）
∴

AD

=(-4，0，0)，

PB

=(0，

6

，-2

3

)（6分）
∴

AD

•

PB

=(-4，0，0)•(0，

6

，2

3

)=0（7分）
∴AD⊥PB（8分）
（2）設(shè)平面PBC的法向量為

m

=(x，y，z)
則

m • BC =(x，y，z)•(-4，0，0)=-4x=0 m • PB =(x，y，z)•(0 6 ，-2 3 )= 6 y-2 3 z=0

，
令y=2，得

m

=(0，2，

2

)（10分）
設(shè)

m

與

AP

所成角為θ，則

m

•

AP

=|

m

||

AP

|cosθ（11分）
即(0，2，

2

)•(-2，0，2

3

)=

6

•

16

cosθ∴cosθ=-

1

2

（12分）
∴

PA

與

m

所成角為60⁰（13分）
∴

PA

與平面PBC所成角為30⁰（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，平面與平面垂直的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件，確定出在O點處三條直線兩兩垂直，從而以O(shè)點建立空間坐標系是解答本題的關(guān)鍵．